Etudier l’arc défini par :
Analyse
Il s’agit d’une étude classique d’un arc paramétré défini en coordonnées cartésiennes.
Résolution
Ensemble de définition
Les fonctions x et y sont des fonctions
trigonométriques simples du paramètre t et sont définies sur .
D’où :
Ensemble utile
La fonction x est périodique tandis que la fonction y est
périodique. L’arc sera donc parcouru une seule
fois si l’on restreint les variations du paramètre t à un intervalle de
longueur
(plus petite période multiple de
et
).
On peut choisir, par exemple :
Ensemble d’étude
Pour commencer, remarquons que x est une fonction
impaire tandis que y est une fonction paire. La courbe représentative du
graphe de (nous la noterons désormais
) sera donc symétrique par rapport à l’axe Oy
(axe des ordonnées).
On peut ainsi réduire l’intervalle d’étude à
l’intervalle : .
Mais on peut également remarquer que l’on a :
Ces égalités traduisent le fait que les points et
sont symétriques par rapport à l’axe Ox
(axe des abscisses).
Or l’application :
est bijective. Nous pouvons donc restreindre l’intervalle
d’étude à : .
Aucune autre symétrie ne semble pouvoir être mise en évidence :
La construction de l’arc se mènera donc comme suit :
1.
Etude et construction de la branche
correspondant aux variations de t dans ;
2. Symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses ;
3. Symétrie orthogonale par rapport à l’axe des ordonnées.
Etude aux bornes du domaine d’étude
Etude en 0
On a : et
.
D’où :
.
Par ailleurs : et
.
D’où, pour
:
et
.
Soit, finalement : .
C’est à dire :
.
|
En |
Etude en
On a : et
.
D’où :
.
Par ailleurs, et
.
Soit, finalement : .
C’est à dire :
.
|
En |
Points stationnaires
On cherche à résoudre le système :
Or on a vu plus haut que l’on avait : et
.
La seule valeur de t qui annule
sur l’intervalle
est
.
Le point obtenu a été étudié plus haut et n’est pas un point stationnaire (
).
Tableau de variation des fonctions x et y
D’après l’expression de précédemment obtenue, on a :
et
.
Sur
,
la fonction x est donc strictement croissante.
Par ailleurs, on a : .
Lorsque t varie dans ,
3t varie dans
.
s’annulera donc pour
et
.
On a donc :
- Pour
et;
- Pour
et;
- Pour
et,.
Pour établir un tableau de variation complet :
,
et
L’étude des dérivées nous fournit les sens de variation des fonctions x et y de la variable t. Nous les combinons aux différents résultats précédemment obtenus et faisons apparaître le tout dans le tableau de variation ci-dessous.
Points où la tangente est horizontale En l’absence de point stationnaire, ce sont les seuls points
vérifiant D’après les résultats précédemment obtenus, Points où la tangente est verticale Pour la même raison que précédemment, nous pouvons
immédiatement conclure que le point Points doubles Nous nous plaçons sur le domaine utile , On a, sur Nous n’obtenons que deux systèmes car sur Nous devons donc résoudre deux systèmes. Considérons le premier système : Il se récrit : Les entiers k et k’ variant dans On a : Quant aux dérivées : La pente de la tangente à On a : Quant aux dérivées : La pente de la tangente à On a en fait obtenu, ce qui n’est pas surprenant au regard
des symétries mises en avant au début de l’étude, deux points symétriques par
rapport à l’axe des ordonnées. Considérons maintenant le second système : Il se récrit : Il n’admet pas de solutions car l’égalité En définitive : L’arc
En
ces points, les tangentes à Nous avons fourni ci-après le tracé de Courbe représentative
de l’arc pour Courbe représentative
de l’arc 
Points particuliers
.
admet une tangente horizontale aux
points :
et
est le seul point pour lequel
admet une tangente verticale.
,et
devons résoudre le système :
(S)
:
on a :
.
L’autre possibilité,
ne fournit pas de solution puisque
est un intervalle de longueur
.
,
on obtient des solutions pour :
et
et
qui donnent :
et
.
et
en
vaut donc :
.
et
et
qui donnent :
et
.
et
en
vaut donc :
.
n’admet pas de solutions dans
(elle équivaut à écrire l’égalité entre un
nombre pair et un nombre impair !).
admet deux points doubles :
et
.
ont des pentes respectives de
et
.
Courbe représentative du graphe de
pour
ainsi que le tracé complet.
:
: