Il s’agit d’une étude classique d’une courbe paramétrée définie en coordonnées cartésiennes.

Dans ce qui suit, nous désignerons par  la courbe représentative du graphe de .

 

 

 

Préambule

 

Les fonctions x et y de la variable t sont définies sur . On doit donc étudier les branches infinies en ,  et en  (étude à gauche et à droite).

 

 

Etude des branches infinies

 

Etude en  

 

Les fonctions x et y étant rationnelles, il vient :

 

 

 

On a alors :

 

 

 

On en déduit que  admet en  une branche parabolique de direction Oy, cette branche étant orientée vers les ordonnées négatives.

 

 

Etude en  

 

On obtient cette fois (les calculs sont similaires à ce qui vient d’être fait) :

 

 

Et :

 

 

On en déduit cette fois que  admet en  une branche parabolique de direction Oy, cette branche étant orientée vers les ordonnées positives.

 

 

Etude en  

 

On a facilement :

 

          

        

 

Il vient alors :

           

Et :

           

 

On a par ailleurs :

 

 

 

On en déduit que lorsque t tend vers ,  admet une direction asymptotique  d’équation .

 

Pour mettre en évidence une éventuelle asymptote, nous étudions : .

 

Pour , on a :

 

 

Il vient alors :

 

 

 

On en déduit que lorsque t tend vers ,  admet une asymptote  d’équation :

 

 

Pour déterminer les éventuels points d’intersection de  et de son asymptote , nous étudions : .

 

Pour , on a :

 

 

 

On constate que  annule la fonction polynôme .

On a alors :

 

 

On travaille sur  ; On ne prend donc pas en compte le premier facteur.

Résolvons alors : .

Il vient :  puis :

 et  

 

En tenant compte du fait que  et  sont solutions de  et  (on peut ainsi exprimer simplement leurs carrés et leurs cubes), il vient :

 

 et  

Et :

 et  

 

L’asymptote  et la courbe  admettent donc deux points d’intersection :

 et  

 

 

 

 

 

 

En guise de complément, nous fournissons l’allure de  (en bleu) et de son asymptote (en rouge).