On va supposer que la fonction f n’est pas la fonction nulle et aboutir à une contradiction (un bel exemple de raisonnement par l’absurde).

 

 

 

Menons un raisonnement par l’absurde en supposant que la fonction f ne s’annule pas en un point  de l’intervalle .

On peut alors supposer  (on raisonnerait de façon rigoureusement analogue avec  ).

 

Soit : .

 

La fonction f étant continue, il existe un réel  strictement positif tel que pour tout réel x appartenant à , on a : , soit .

D’où : .

 

 est un intervalle comme intersection de deux intervalles et sa longueur est non nulle.

 

On considère alors la fonction en escalier g définie par :

 

 

Il s’agit en fait de la fonction indicatrice de I.

 

Dans ces conditions on a :

 

 

L’intégrale  ne peut être nulle, ce qui est absurde.

On en déduit qu’il ne peut exister  tel que . La fonction f est la fonction nulle.