On considère la fonction f définie sur par :
1. Trouver deux réels a et b
tels que soit une primitive de f sur
;
2. Calculer .
Analyse
Dans une premier temps, on a affaire à un calcul de dérivée d’un produit de fonctions simples (affine et exponentielle), la fonction dérivée obtenue devant être identifiée à la fonction fournie. La deuxième question est alors un simple calcul intégral.
Résolution
Question 1.
Dire que équivaut à dire que pour tout x réel,
on a :
.
En posant : ,
il vient :
Pour tout x réel, l’égalité équivaut à :
Soit :
La fonction exponentielle étant non nulle, cette dernière égalité
entraîne :
Une fonction affine (et plus généralement polynôme) est nulle pour toute valeur de x si, et seulement si, ses coefficients sont nuls. La dernière égalité équivaut donc au système :
La première égalité donne immédiatement .
Il vient alors, grâce à la seconde : .
par :
Question 2.
A l’aide de la question précédente, il vient immédiatement :
Finalement :