Pour tout entier naturel n, on considère la fonction  définie sur  par :

 

 

 

On pose alors :

 

 

 

 

1.    Justifier l’existence de  ;

2.    Calculer  ;

3.    Déterminer une relation de récurrence entre  et  ;

4.    Calculer  pour tout entier naturel n.

 

 

 

 

Analyse

 

Suites et intégrales … Un mélange classique permettant, à la dernière question, d’obtenir une jolie expression . Au préalable, il aura fallu effectuer une intégration partie (question 3). Une fois la relation de récurrence établie, on doit essentiellement effectuer une manipulation de factorielles …

 

 

Résolution

 

Question 1.

 

Pour tout entier naturel n, la fonction  est continue sur l’intervalle  comme produit de deux fonctions continues sur cet intervalle. Elle y est donc intégrable.

 

 existe.

 

 

 

Question 1.

 

On a :

 

 

 

 

 

 

 

Question 3.

 

 

 

Nous pouvons procéder à une intégration par partie. La fonction  admet pour dérivée la fonction . Par ailleurs, la fonction  admet pour primitive  (voir question précédente). Il vient donc :

 

 

 

D’où :

 

 

 

Finalement :

 

 

 

 

 

Question 4.

 

A partir de la relation précédente, il vient :