Un produit d’intégrales ? L’inégalité de Cauchy-Schwarz n’est probablement pas loin …

 

 

 

Les fonctions f et g étant positives, on peut considérées leurs racines carrées :  et . Celles-ci sont continues sur l’intervalle  comme composées de fonctions continues (f et g sont continues sur , à valeurs dans  et la fonction racine carrée est continue sur cet ensemble). L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit alors :

 

 

 

Le deuxième membre de cette inéquation s’écrit :

 

 

 

Par ailleurs, comme on a : , il vient  et :

 

 

 

Donc :

 

 

 

On obtient finalement :

 

 

 

D’où le résultat cherché.