Pour démarrer, on peut constater valider la parité de la fonction  et, surtout, faire une remarque sur les carrés des deux termes apparaissant à sont dénominateur. Un changement de variable en découle …

 

 

 

 

On montre facilement que la fonction  est définie sur l’intervalle fermée . Notons cette fonction f.

 

L’intervalle  est symétrique et on a : . La fonction f est donc paire et il vient immédiatement :

 

 

 

 

On a par ailleurs : .

On en tire immédiatement : .

 

On peut alors effectuer le changement de variable bijectif de  dans  tel que , c’est à dire : . Il vient alors :  et  

 

 

L’intégrale I se récrit alors :

 

 

 

Le dénominateur se simplifie comme suit :

 

 

 

Pour ce qui est du numérateur, on a :

 

 

 

On a alors :

 

 

 

L’avant dernière ligne a été obtenue en effectuant le changement de variable : .

 

On a immédiatement :

 

 

 

Calculons maintenant : .

On note immédiatement que  est invariant par le changement de variable . On peut donc poser :  qui donne : .

On a alors :  et :

 

 

 

Or : , d’où :

 

 

 

Finalement :