La présence du logarithme népérien pousse à envisager une intégration par parties …

 

 

 

 

Notons dans un premier temps que la fonction  est prolongeable par continuité en 0 puisque l’on a la limite classique : .

 

Considérons alors la fonction u définie sur  par : . On a immédiatement, pour tout réel x de  : .

Soit alors la fonction v définie sur  par : . On a facilement, pour tout x réel de  : .

La fonction  est définie sur  par : . Elle est donc prolongeable par continuité en 0.

On a donc :

 

 

 

Remarque : on obtient naturellement une valeur négative puisque la fonction  prend des valeurs négatives sur  du fait du logarithme népérien.