Soit I et J les intégrales :
et
Calculer et
(pour le calcul de
,
on pourra procéder à deux intégrations par parties après avoir remarqué que
l’on a :
) et en déduire I et J.
Analyse
Le calcul est classique et fait appel à la linéarité de l’intégrale et à la technique de l’intégration par parties.
Résolution
On a d’abord :
Puis, en tenant compte de la remarque de l’énoncé :
Soit alors : qui donne
qui est continue sur
et
,
fonction continue sur
,
admettant comme primitive :
.
On a alors (intégration par parties) :
Pour calculer ,
nous allons procéder à une nouvelle intégration par parties.
Soit alors : qui donne
qui est continue sur
et
,
fonction continue sur
,
admettant comme primitive :
.
On obtient :
D’où : et, finalement :
.
On a donc le système :
On obtient facilement :
Et :
Résultat final
et