Une des inégalités est simple. L’autre est plus « technique » et fait appel à l’inégalité de Cauchy-Schwarz (il conviendra donc de faire judicieusement apparaître un produit d’intégrales)..

 

 

 

On a facilement, la fonction f prenant des valeurs positives :  (comparer les carrés).

 

On en déduit alors : .

 

Or, on a : .

 

On a donc établi : .

 

 

Comparer les réels positifs  et  équivaut à comparer leurs carrés.

On peut donc comparer  et .

 

On a :

 

 

 

On a :  et donc : .

Les fonctions  et  sont des fonctions continues et positives et on peut alors écrire en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

 

.

 

On a ainsi établi :

 

 

 

Soit :

 

 

 

Finalement :

 

 

 

La deuxième inégalité est ainsi établie.