Une des inégalités est simple. L’autre est plus « technique » et fait appel à l’inégalité de Cauchy-Schwarz (il conviendra donc de faire judicieusement apparaître un produit d’intégrales)..

 

 

 

 

La fonction  est la composée de la fonction logarithme népérien et de la fonction carrée. Sur l’intervalle , inclus dans , la fonction logarithme népérien est strictement croissante et prend ses valeurs dans l’intervalle , lui-même inclus dans . Or, la fonction carrée est strictement croissante sur . On en déduit finalement que la fonction  est strictement croissante sur l’intervalle .

 

D’après ce qui précède, on a :

 

 

C'est-à-dire :

 

 

On en déduit alors :

 

 

Soit :

 

 

 

Finalement :