Dans cet exercice, on calcule une intégrale en utilisant classiquement une primitive de la fonction à intégrer (question 1.) où en utilisant une caractéristique fondamentale de la fonction (elle est impaire) et les considérations géométriques associées (question 2.).

 

 

 

 

Question 1.

 

Suivons l’indication de l’énoncé :

 

 

En posant : , on constate que l’on a simplement :  puis :

 

 

On a facilement :  et . Il vient donc :  puis :

 

 

Finalement :

 

 

 

Question 2.

 

Notons, dans un premier temps que l’exponentielle et définie sur  et rappelons que l’on a  et donc . Ainsi, la fonction f est définie sur .

 

Par ailleurs, on a :

 

 

Il résulte de ce qui précède que la fonction f est impaire sur .

 

On a aussi : .

 

On a : .

Or, sur l’intervalle , la fonction f prend des valeurs positives. On en déduit que l’intégrale  est égale à l’aire du domaine limité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f et les deux droites d’équations  et .

Sur l’intervalle , la fonction f prend des valeurs négatives. On en déduit que l’intégrale  est égale à l’opposée de l’aire du domaine limité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f et les deux droites d’équations  et .

 

La fonction f étant impaire sur  (et donc, en particulier, sur l’intervalle symétrique  ), les deux domaines décrits précédemment sont symétriques l’un de l’autre par rapport à l’origine (voir la figure ci-après) et admettent ainsi la même aire. On en déduit finalement la nullité de l’intégrale.