Soit un réel strictement positif différent de 1.
On définit la suite par :
1. Pour tout entier naturel n, calculer .
2. Déduire de ce qui précède que la suite est géométrique (on précisera sa raison et son
premier terme).
3. Donner (on discutera suivant la valeur de
).
Analyse
Un exercice court permettant de reprendre les notions élémentaires relatives aux intégrales, aux fonctions exponentielles et aux suites géométriques.
Résolution
Question 1.
Rappelons que l’on a : .
On en déduit immédiatement que la fonction
est une primitive de la fonction
sur
.
Il vient alors, pour tout entier naturel n :
Question 2.
L’expression de obtenue à la question précédente est de la
forme
avec
et
.
On en déduit immédiatement :
La
suite est une suite géométrique de premier terme
et de raison
.
Question 3.
Puisque nous avons affaire à une suite géométrique de raison
(et
), on a immédiatement :
- Pour
:.
- Pour
: on a :. Par ailleurs, on a :et. On en déduit :puis, finalement :.
·
Pour :
.
·
Pour :
.