Soit f et g deux fonctions définies et continues
sur un intervalle (
).
On se propose d’établir, dans cet exercice, l’inégalité :
1. Justifier l’existence des intégrales ,
et
.
2. Pour tout réel x, on pose :
a. Justifier l’existence de la fonction P.
b. Donner, en justifiant, le signe de P.
c. On admet l’équivalence : .
On suppose ici .
Montrer alors que P est une fonction
polynôme de degré 2.
Que peut-on en déduire pour le discriminant associé à P ?
d. Etablir .
Analyse
L’inégalité proposée est (très) classique. Tous les outils requis pour l’établir ne sont pas au programme de la classe de terminale S (l’équivalence de la question 2.c. est déterminante) mais l’essentiel oui. Une difficulté réside dans le distinguo que l’on doit clairement faire entre la variable x et la variable muette (« t » ici) intervenant dans les intégrales.
Résolution
Question 1.
Puisque les fonctions f
et g sont continues sur l’intervalle ,
il en va de même pour les fonctions fg,
et
(produits de fonctions continues). On en tire
immédiatement l’existence des intégrales considérées.
Les
intégrales ,
et
existent.
Question 2.a.
Pour tout x réel fixé,
la fonction est continue sur l’intervalle
comme carré d’une fonction elle-même continue
sur cet intervalle. On en déduit immédiatement l’existence de l’intégrale.
Pour
tout réel x, l’intégrale existe.
Question 2.b.
Pour tout x réel fixé,
on a : .
On en déduit immédiatement que l’intégrale correspondante est positive.
D’où :
Question 2.c.
En développant le carré, on obtient d’abord :
La linéarité de l’intégrale nous donne alors :
On obtient une expression de la forme avec
(puisque, par hypothèse, on a
et
),
et
.
La fonction P est une fonction polynôme de degré 2.
A la question précédente, on a établi : .
La fonction polynôme P gardant un
signe constant, on en déduit que son discriminant est négatif.
Le discriminant associé à la fonction polynôme P est négatif.
Question 2.d.
Pour conclure, on doit distinguer deux cas suivant que la
fonction f est nulle ou pas sur l’intervalle
.
Si la fonction f
est nulle sur l’intervalle ,
alors il en va de même pour les fonctions fg
et
.
On en déduit alors immédiatement :
et
.
Ainsi, les deux membres de l’inégalité
sont nuls et
est vérifiée (égalité).
Si la fonction f n’est pas la fonction nulle sur l’intervalle
.
Alors, d’après la question 2.c., la fonction P est une fonction polynôme de degré 2 gardant un signe constant sur
et dont le discriminant associé est, de fait, négatif.
Ce discriminant s’écrit :
Il vient alors :
L’inégalité est ainsi établie dans le deuxième cas. Elle est donc valable tout le temps.