Soit f une
fonction définie et continue sur l’intervalle .
Soit F la primitive de f sur l’intervalle s’annulant en 0.
Montrer que l’on a :
Analyse
La présence du facteur polynomial dans l’intégrale du membre de gauche de l’égalité suggère une intégration par parties …
Résolution
Soit la fonction définie sur l’intervalle par
.
Elle y est dérivable en tant que fonction polynôme (affine) et sa dérivée est
la fonction définie par :
qui est également continue sur l’intervalle
en tant que fonction polynôme (constante).
Soit maintenant la fonction f définie et continue, par hypothèse, sur l’intervalle .
F est un de ses primitives (celle qui s’annule en 0).
Une intégration par parties donne donc :
Le résultat est ainsi établi.