Soient .
Résoudre :
(E)
Analyse
On utilise la propriété fondamentale du logarithme népérien
sans oublier la condition d’existence du premier terme de
Résolution
La condition d’existence du premier logarithme népérien s’écrit :
(C1)
On a, par ailleurs :
D’où, en admettant que (C1) soit vérifiée :
On obtient ainsi une deuxième condition :
(C2)
La manipulation des conditions (C1) et (C2) dépend de la valeur du paramètre a.
Dans ce cas, la condition (C1) s’écrit et est toujours vérifiée.
La condition (C2) s’écrit et n’est vérifiée que si
.
L’ensemble des solutions vaut alors
.
Si on a
,
alors
.
Si
La condition (C1) se récrit : .
La condition (C2) se récrit : .
Comme et
,
on a :
et donc
.
Les deux conditions (C1) et (C2) sont
donc équivalentes à :
D’où : .
Si
La condition (C1) se récrit : .
La condition (C2) se récrit : .
Comme et
,
on a :
et donc
.
Les deux conditions (C1) et (C2) sont
donc équivalentes à :
D’où : .
Résultat final
L’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble :
·
si
et
;
·
si
et
;
·
si
;
·
si
.