On pose les conditions d’existence des logarithmes népériens puis on résout le système en introduisant des variables auxiliaires.

 

 

 

Préambule : les variables x et y jouent des rôles symétriques. En effet, si  est solution du système alors  est également un couple solution.

 

 

 et  sont définis si, et seulement si,  et . Dans ces conditions, on a :  et  est défini.

 

Introduisons les deux nouvelles variables X et Y définies par :

 

 

 

Comme , le système initial se récrit :

 

 

 

X et Y sont donc les racines réelles, si elles existent, de l’équation : .

 

On constate aisément que cette équation admet  comme racine évidente. On en tire alors la deuxième : .

 

On en déduit alors :  et  ou  et .

 

 

Pour  et , il vient :

 

 

 

On obtient le premier couple solution : .

 

D’après le préambule, le deuxième couple solution (obtenu avec  et  ) s’écrit : .