On pose la condition d’existence du logarithme népérien afin de définir l’ensemble dans lequel on recherche les solutions. Il convient ensuite, en récrivant (E) d’établir l’égalité des arguments de deux logarithmes népériens.

 

 

 

 est défini si, et seulement si,  puisque la valeur absolue est positive.

Or, on a : .

On va donc chercher des solutions dans l’ensemble : .

 

 

L’équation (E) se récrit :

 

 

 

On obtient finalement :

 

(E)  ou  

 

Chacune des égalités obtenues va nous fournir un sous-ensemble de solutions de (E). Leur réunion correspondra à l’ensemble des solutions de (E).

 

 

 Résolution de  

 

Ce type d’équation est classique et on obtient :

 

 ou  

 

Les solutions de la deuxième forme s’écrivent : .

On obtient le premier sous-ensemble de solutions de (E) :

 

 

 

 Résolution de  

 

On procède comme précédemment en notant, par exemple, que : .

 

On a alors :

 

 

 

Les solutions de la deuxième forme peuvent s’écrire :

 

 

 

On obtient ainsi le second sous-ensemble de solutions de (E) :

 

 

 

 

On a alors, finalement :