Résoudre :
(E)
Analyse
Avant d’écrire l’égalité des arguments, il convient de préciser l’ensemble dans lequel on cherche les solutions de l’équation. C’est à dire, l’ensemble pour lequel les logarithmes sont définis.
Résolution
La fonction est définie pour tout x tel que :
;
la fonction
est définie pour tout x tel que :
.
On a :
Or : ,
d’où :
.
On a donc : .
On cherche donc les solutions de (E) dans l’intervalle .
On peut alors écrire :
La résolution de l’équation du second degré ne pose pas de problème particulier.
Le discriminant s’écrit : .
On en tire les deux racines :
La condition nous conduit à éliminer
puisque
.
On a donc :
C’est à dire :
Résultat final
L’ensemble
des solutions de l’équation (E) est le singleton :