Déterminer la primitive de la fonction f définie sur par :
et s’annulant en 2.
Analyse
Notons d’abord que la fonction f est une fonction
rationnelle (rapport de deux polynômes) définie sur (le dénominateur ne peut s’annuler).
On constate ensuite que le numérateur est un polynôme du premier degré alors que le dénominateur est un polynôme du second degré … On doit alors s’efforcer de faire apparaître la dérivée du dénominateur.
Résolution
La dérivée de la fonction est la fonction
.
On peut alors écrire :
Pour tout x réel, on a : ,
donc :
.
En d’autres termes, la fonctions u prend des valeurs
strictement positives sur .
Les primitives du rapport sont alors les fonctions
où k est une constante réelle.
Les primitives de la fonctions f sont donc les fonctions définies par :
,
où k est une constante réelle.
On cherche la primitive s’annulant en 2.
Cette condition équivaut à : ,
soit :
La primitive cherchée est donc définie par :
Résultat final
La
primitive de la fonction f définie sur par :
et
s’annulant en 2 est