Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur par :
Analyse
La fonction f est une somme de fonctions dont les dérivées sont connues.
On doit cependant justifier, dans un premier temps, la dérivabilité
sur .
Résolution
La fonction logarithme népérien est dérivable sur et sa dérivée est la fonction
.
On en déduit que la dérivée sur de la fonction
est la fonction
.
La fonction racine carrée est également dérivable sur et sa dérivée est la fonction
.
On en déduit que la dérivée sur de la fonction
est la fonction
.
La fonction est, en tant que fonction polynôme, dérivable
sur
et donc, en particulier sur l’intervalle
.
Sa dérivée est définie par :
.
Finalement, la fonction f est dérivable sur et sa dérivée est la fonction définie
par :
Résultat final
La
dérivée de la fonction f définie sur par :
est
la fonction définie sur par :