L’essentiel des difficultés se situent au niveau de l’argument du logarithme népérien qui, ici, est une fonction rationnelle. Il convient d’observer attentivement le dénominateur de cette fonction …

 

 

 

Le logarithme népérien n’est défini que si l’expression  est strictement positive.

Pour tout x réel, on a :

• 
  
   et cette expression n’est nulle que pour
  
   ;
• 
  
  .

 

Le rapport  prend donc des valeurs positives et ne s’annule que pour . Cette valeur est la seule qui pose donc un problème.

 

Finalement :

 

 

 

Pour tout x réel, on a immédiatement : .

Comme l’expression  ne s’annule pas, il vient :  

Plus précisément, pour tout x de , on a : .

 

Finalement, pour tout x de  :