1. Déterminer la dérivée de la fonction f
définie sur par :
2. Déduire de la question précédente les
primitives de la fonction logarithme népérien sur ;
3. Déterminer la primitive du logarithme
népérien qui s’annule pour .
Analyse
La fonction f est une fonction « classique » mais vous ne le savez peut-être pas encore. La première question, qui ne pose pas de difficulté particulière, va vous montrer en quoi …
Résolution
Question 1.
On a :
Pour tout réel x strictement positif, on a :
La fonction f est donc une primitive du logarithme
népérien sur .
Question 2.
A partir du résultat obtenu à la question précédente, on peut écrire que les primitives du logarithme népérien sont les fonctions de la forme :
,
où k est une constante réelle.
Question 2.
Soit F la primitive cherchée.
Puisqu’il s’agit d’une primitive du logarithme népérien, est de la forme :
Où k est une constante réelle à déterminer.
.
Le réel k doit donc vérifier l’équation :
Soit : .
D’où, en tenant compte de :
.
On en tire finalement :
La primitive cherchée est donc définie par :
Résultat final
1.
La dérivée de la fonction f
définie sur par :
est la fonction logarithme népérien ;
2. Les primitives de la fonction logarithme népérien sont les fonctions définies par :
où k est une constante réelle.
3.
La primitive du logarithme népérien
s’annulant pour est la fonction définie par :