Soit la fonction f définie par :
a. Déterminer
l’ensemble de définition de f ;
b. Déterminer les
primitives de la fonction f sur ;
c. Déterminer qui vérifie
;
d. Donner une équation
de la tangente à la courbe représentative de
Analyse
L’essentiel des difficultés se situent au niveau de la deuxième question. On doit trouver un lien simple entre le numérateur et le dénominateur de f.
Résolution
Question a.
La fonction f est une fonction rationnelle. Pour déterminer son ensemble de définition, on doit déterminer les valeurs de x qui annulent le dénominateur.
On a : .
équivaut donc à
.
On en déduit que le dénominateur de la fonction f
s’annule pour et
.
On en déduit finalement :
Question b.
Intéressons-nous à la dérivée du dénominateur de la fonction f.
La dérivée de la fonction est la fonction
.
Or, pour tout x réel, on a : .
On a donc : où
.
Sur ,
on a :
,
une primitive de la fonction
est alors la fonction
.
On en déduit qu’une primitive de la fonction f sur est la fonction
.
Les primitives de la fonction f sur sont donc les fonctions définies par :
,
où k est une constante réelle
Question c.
En tant que primitive de la fonction f,
F doit vérifier .
Or,
Le réel k doit donc vérifier l’équation : .
Il vient alors : .
On a alors :
Question d.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de
La dérivée de
Par ailleurs : (voir question précédente).
D’où :
Résultat final
a.
L’ensemble de définition de la fonction f
définie par : est :
;
b.
Les primitives de la fonction f
sur sont définies par :
,
où k est une constante réelle
c.
qui vérifie
est définie par :
d.
Une équation de la tangente à la courbe
représentative de