La fonction proposée peut dérouter … Pourtant, il s’agit d’une composée : celle du logarithme népérien suivi de lui-même ! L’exercice requiert donc une bonne maîtrise de cette fonction et des résultats relatifs aux fonctions composées.

 

 

 

Question a.

 

 si l’on peut calculer le logarithme népérien de . Un tel calcul n’est possible qu’à la condition que  soit strictement positif.

On doit donc résoudre : .

 

 équivaut à  ; cette deuxième inéquation équivaut, le logarithme népérien étant une fonction strictement croissante, à : .

 

On a donc, finalement :

 

 

 

 

Question b.

 

Cherchons d’abord : .

On a : .

Il vient donc :  

D’où, finalement :

 

 

Cherchons maintenant : .

On a :  

Il vient donc :  

D’où, finalement :

 

 

 

Question c.

 

La fonction f est la composée de deux fonctions strictement croissantes (le logarithme népérien et … lui-même !), elle est donc strictement croissante sur son ensemble de définition.

 

La fonction f est strictement croissante sur son ensemble de définition.

 

 

Remarque : on peut également retrouver ce résultat après avoir établi la dérivabilité de f sur , déterminé la dérivée  (on obtient :  ) et étudié son signe.

 

 

Question d.

 

En tant que fonction dérivable sur , la fonction f est continue sur cet intervalle.

Par ailleurs, la fonction f est strictement croissante sur  (question c.).

Enfin, les limites aux bornes sont de signes opposés (question b.).

D’après ce qui précède et grâce au théorème des valeurs intermédiaires, on peut conclure que la fonction f s’annule pour une unique valeur  de l’intervalle .

 

On résout .

Cette équation équivaut à :  ; soit : .

D’où : .

Finalement : .

 

On a donc :

 

 

 

Question e.

 

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse e s’écrit :

      (E)

 

On a : , d’où : .

Par ailleurs, d’après la question précédente, on a : .

L’équation (E) ci-dessus se récrit alors : .

Soit, finalement :