Soit la fonction f définie par :
a. Déterminer
l’ensemble de définition de f ;
b. Déterminer les
limites de la fonction f aux bornes de .
Analyse
La fonction proposée est une composée : celle d’une fonction rationnelle et du logarithme népérien ! Il est donc nécessaire que la fonction rationnelle prenne des valeurs strictement positives pour que le logarithme népérien soit défini …
Quant aux limites, elles requièrent une bonne maîtrise de la détermination des limites des fonctions composées et une approche méthodique.
Résolution
Question a.
Il convient d’étudier le signe de .
Nous commençons par nous intéresser à celui du numérateur.
Le discriminant s’écrit :
.
On en tire les deux racines : et
.
D’où : et
.
On a alors le tableau de signe :
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1 |
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0 |
+ |
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0 |
+ |
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+ |
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+ |
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0 |
+ |
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+ |
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0 |
+ |
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- |
0 |
+ |
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On en tire :
La fonction f est donc définie sur .
Question b.
D’après la question précédente, il nous faut étudier les
limites de la fonction f en (à droite),
(à gauche), 1 (à droite) et
.
Limite en à droite
On a : .
Or : et
.
Donc : .
On en déduit alors :
Limite en à gauche
On procède comme précédemment.
On a : et
Donc : .
On en déduit alors :
Limite en 1 à droite
On a : et
.
Donc : .
On en déduit alors :
Limite en
On a :
On en déduit alors :