Soit la fonction f définie par :
a. Déterminer
l’ensemble de définition de f ;
b. Déterminer les
limites de la fonction f aux bornes de .
Analyse
La fonction proposée est une composée : celle d’une fonction rationnelle et du logarithme népérien ! Il est donc nécessaire que la fonction rationnelle prenne des valeurs strictement positives pour que le logarithme népérien soit défini …
Quant aux limites, elles requièrent une bonne maîtrise de la détermination des limites des fonctions composées et une approche méthodique.
Résolution
Question a.
est défini pour toute valeur de x telle
que :
.
Il convient donc d’étudier le signe de qui est identique à celui du produit
.
On a immédiatement, le polynôme étant factorisé :
- Pour
,;
- Pour
,.
Finalement, on a pour tout x dans
.
Question b.
D’après la question précédente, il nous faut étudier les
limites de la fonction f en ,
en 0 (à gauche), en 1 (à droite) et
.
Limite en
On a : .
On en tire :
Comme ,
il vient finalement :
Limite en 0 à gauche
On a : .
On en tire : et :
Comme ,
il vient finalement :
Limite en 1 à droite
On a : et
donc :
Donc : et
.
Comme ,
il vient finalement :
Limite en
On a : .
On en tire :
Comme ,
il vient finalement :