Deux paramètres à déterminer, deux données relatives à f et à sa dérivée en un point. Ces deux données sont à exprimer analytiquement et vont fournir les deux relations requises pour pouvoir calculer les deux paramètres.

 

 

 

 

Comme la courbe représentative de la fonction f passe par le point , on a immédiatement : . Soit : .

On en tire immédiatement : .

 

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point  est égal à . Comme on souhaite que cette tangente soit parallèle à la première bissectrice et que le coefficient directeur est égal à 1, on veut : .

Mais pour tout x où f est dérivable, on a : .

On veut donc : .

 

En utilisant l’égalité , l’égalité  donne immédiatement : .

L’égalité  se récrit alors : , soit .

 

Finalement, la fonction f est définie par :

 

 

 

 

 

A titre de complément, nous fournissons la courbe représentative de la fonction f qui se déduit de celle de la fonction logarithme népérien par la translation de vecteur .