Il s’agit d’une application directe du cours. Le calcul de quelques dérivées conduit à poser une expression générale de la dérivée n-ième du logarithme népérien, expression dont on établit l’exactitude par récurrence.

 

 

 

Le logarithme népérien étant défini sur , c’est sur cet intervalle que nous menons les calculs.

 

On a : . Il vient alors : .

 

Puis :  et .

 

Ces premiers calculs nous conduisent à étudier l’expression suivante de la dérivée n-ième du logarithme népérien (rappelons que  ) :

 

 

 

Soit donc la proposition .

 

Nous avons vu que cette proposition était vraie aux rangs 1, 2, 3 et 4.

 

Supposons qu’elle soit vraie au rang n. On suppose donc : .

 

Calculons alors, la dérivée du logarithme népérien à l’ordre . On a :

 

 

 

La proposition  est donc vraie.

 

Il vient donc :  C’est à dire :