Soit  une fonction deux fois dérivable.

On suppose qu’il existe un nombre réel M strictement positif tel que :

 

1.     Ecrire la formule de Taylor-Lagrange au point 0 pour f ;

(on justifiera le choix de l’ordre) ;

2.     En déduire l’inégalité :  ;

3.     Montrer que l’on a l’inégalité : .

 

 

 

Analyse

 

L’exercice vise à majorer, sous les hypothèses posées, le coefficient directeur (en valeur absolue) de la tangente au graphe de f à l’origine.

 

 

Résolution

 

1ère question

 

La fonction f étant deux fois dérivable sur , on peut écrire la formule de Taylor à l’origine (il s’agit donc, stricto sensu, d’une formule de MacLaurin) avec reste de Lagrange à l’ordre 1 :

 

 

 

2ème question

 

Comme, par hypothèse, on a : , la formule précédente nous permet d’écrire l’inégalité :

 

 

 

Mais on sait également, par hypothèse, que l’on a : . L’inégalité précédente peut alors être complétée :

 

 

 

D’où, finalement :

 

 

 

 

3ème question

 

Considérons la fonction polynôme g  du second degré (M étant non nul) définie par :

 

.

 

Ses coefficients sont fixés et, d’après la question précédente, on a :

 

 

 

Or une fonction polynôme garde un signe constant si, et seulement si, le discriminant de l’équation du second degré associée est négatif ou nul (dans le deuxième cas, le sommet de la parabole représentant le graphe de la fonction se trouve sur l’axe des abscisses).

 

Ici, l’équation associée à g est : .

 

Son discriminant s’écrit : . La condition  s’écrit alors :

 

 

 

La dernière équivalence est licite puisque l’on a :  et  (f étant une fonction positive)