Nous avons affaire à la composée de deux fonctions. On peut donc, sur l’ensemble de dérivabilité obtenu, appliquer la règle connue de dérivation d’une composée.

 

 

 

La fonction  définie par  admet comme ensemble de définition . Elle y est dérivable en tant que fonction polynôme et on a :

 

 

 

La fonction  prend ses valeurs dans  puisque .

 

La fonction  définie par  admet comme ensemble de définition . Elle y est dérivable (voir cours sur le logarithme népérien) et on a :

 

 

 

Comme  prend ses valeurs dans , la composée  est définie sur l’ensemble . D’après ce qui précède, f est alors dérivable sur cet ensemble.

 

Sur  on a donc :

 

 

 

 

Note : on aurait également pu remarquer que l’expression de  peut être simplifiée à l’aide des propriétés algébriques du logarithme népérien. En tenant compte du fait que l’on travaille sur , il vient : .

En distinguant ensuite les deux cas  et , on retrouve le résultat précédent.