Préciser l’ensemble de dérivabilité et calculer la
dérivée de la fonction f définie par :
Analyse
Nous avons affaire à la puissance d’une composée de deux
fonctions. On peut donc, sur l’ensemble de dérivabilité obtenu, appliquer les
règles connues de dérivation d’une puissance et d’une composée.
Résolution
La fonction définie par admet comme ensemble de définition .
Elle y est dérivable en tant que fonction polynôme et on a :
La fonction prend ses valeurs dans puisque son degré est impair.
La fonction définie par admet comme ensemble de définition .
Elle y est dérivable (voir cours sur le logarithme népérien) et on a :
Comme prend ses valeurs dans ,
la composée est définie sur l’ensemble .
D’après ce qui précède, f est alors dérivable sur cet ensemble.
Sur on a, en utilisant d’abord la règle de
dérivation d’une puissance d’une fonction dérivable :
On utilise ensuite la règle de dérivation d’une composée de
deux fonctions.
Il vient :
Résultat final