Préciser l’ensemble de dérivabilité et calculer la dérivée de la fonction f définie par :
Analyse
Nous avons affaire à la composée de deux fonctions. On peut donc, sur l’ensemble de dérivabilité obtenu, appliquer la règle connue de dérivation d’une composée.
Résolution
La fonction définie par
admet comme ensemble de définition
.
Elle y est dérivable en tant que fonction polynôme et on a :
La fonction définie par
admet comme ensemble de définition
.
Elle y est dérivable (voir cours sur le logarithme népérien) et on a :
La composée est définie sur l’ensemble
.
Etudions pour quelles valeurs éventuelles de x on
a : .
Soit donc l’équation (E’) : .
Son discriminant réduit s’écrit : .
L’équation (E’) admet donc les deux racines suivantes :
On en déduit, le coefficient de dans l’expression de
étant positif :
Sur cet ensemble, le logarithme népérien est défini et dérivable.
La fonction f est dérivable comme composée de deux fonctions dérivables et on a :
Résultat final