Nous avons affaire à la composée de deux fonctions. On peut donc, sur l’ensemble de dérivabilité obtenu, appliquer la règle connue de dérivation d’une composée ou, plus spécifiquement, utiliser la règle fournissant la dérivée d’une fonction de la forme : .

 

 

 

La fonction  définie par  admet comme ensemble de définition . Elle y est dérivable en tant que fraction rationnelle et on a :

 

 

 

La fonction  définie par  admet comme ensemble de définition . Elle y est dérivable (voir cours sur le logarithme népérien) et on a :

 

 

 

La composée  est définie sur l’ensemble :  

 

On a donc :

 

 

 

Sur cet ensemble, la fonction f est définie et dérivable comme composée de deux fonctions dérivables et on a :

 

 

 

On peut aussi utiliser la règle de calcul :  avec .

 

On obtient alors directement :

 

 

 

 

Note : on pouvait également remarquer que pour tout x de  on a :

 

 

 

La conclusion est alors … presque immédiate !