Préciser l’ensemble de dérivabilité et calculer la dérivée de la fonction f définie par :
Analyse
Nous avons affaire à la composée de deux fonctions. On peut
donc, sur l’ensemble de dérivabilité obtenu, appliquer la règle connue de
dérivation d’une composée ou, plus spécifiquement, utiliser la règle
fournissant la dérivée d’une fonction de la forme : .
Résolution
La fonction définie par
admet comme ensemble de définition
.
Elle y est dérivable en tant que fraction rationnelle et on a :
La fonction définie par
admet comme ensemble de définition
.
Elle y est dérivable (voir cours sur le logarithme népérien) et on a :
La composée est définie sur l’ensemble :
.
D’après ce qui précède, f est alors dérivable sur cet ensemble et on a :
Note : la dernière égalité résulte du fait que sur ,
on a :
.
On peut aussi utiliser la règle de calcul : avec
.
On obtient alors directement :
Résultat final