L’énoncé nous conduit à utiliser le théorème des accroissements finis.

Pour autant, s’il est appliqué « froidement » à la fonction f sur chaque intervalle  et , il nous conduit à écrire :

 

où  et  appartiennent respectivement à ces intervalles.

L’application du théorème des accroissements finis à la fonction f’ sur l’intervalle  nous conduit alors à établir l’existence d’une valeur c appartenant à  et telle que :

 

Le problème consiste donc à montrer que de telles égalités peuvent être obtenues avec . L’indication fournie permet d’obtenir ce résultat.

 

 

 

On considère donc la fonction g définie sur  par :

 

 

Puisque f est deux fois dérivable sur , g l’est également sur  et on a :

 

 

On peut alors appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction g sur l’intervalle  :

 

 

 

Cette égalité peut en fait être écrite de deux façons différentes en utilisant la définition de g :

 

• 
  
   ;
• ou :

 

 

Mais f étant dérivable une seconde fois sur , elle l’est en particulier sur l’intervalle . On peut donc appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction f’ sur ce dernier intervalle :

 

 

 

D’après ce qui précède, il vient alors :

 

 

 

Le résultat est ainsi démontré.