Nous avons affaire au rapport de deux fonctions. Chacune d’elle est définie sur  et également dérivable sur cet ensemble.

 

 

 

Au numérateur, la fonction  est définie et dérivable sur  (car l’exponentielle l’est). Au dénominateur, la fonction  est également définie et dérivable sur  (la fonction  étant définie et dérivable sur  comme rapport de deux fonctions définies et dérivables sur , le dénominateur ne s’annulant pas).

Enfin, pour tout x réel, on a :  et donc :  et . Le dénominateur de la fonction f ne s’annule donc pas.

 

On conclut de ce qui précède :

 

 

 

Pour rappel : .

Soit ici :

 

 

 

On peut alors écrire, si l’on souhaite se débarrasser des exposants négatifs :

 

 

 

Cette deuxième expression, qui fait apparaître au numérateur un polynôme du second de gré en  est plus pratique pour étudier le signe de la dérivée. On aurait également pu l’obtenir en modifiant l’expression de f avant de la dérivée :