Calculer, pour tout entier n, la dérivée n-ième
de .
Analyse
Quelques calculs de dérivées successives permettent de « voir » le mécanisme. On en tire une expression générale que l’on cherchera à simplifier.
Résolution
Posons, pour tout réel x strictement positif : .
On a bien sûr : et
.
Il vient : .
Puis : .
Le calcul suggère de poser, pour n entier naturel non nul :
Nous allons démontrer cette formule par récurrence.
Elle est exacte pour et
.
Supposons qu’elle soit vraie au rang n.
Au rang ,
on a :
La formule est ainsi vérifiée au rang .
Nous allons maintenant en donner une expression plus simple.
Posons, pour tout entier naturel non nul : .
Ce produit comporte n facteurs et on a :
On constate que cette formule est également valable pour (elle fournit
).
Finalement :
Résultat final
Pour tout x réel
strictement positif, si on pose ,
il vient :