Soit a un réel quelconque.
1. Factoriser après avoir remarqué que cette quantité
s’annule pour
;
2. Déterminer, à l’aide de la définition, où
.
Analyse
Un exercice pour retrouver une dérivée connue …
Résolution
1. étant de degré 3 et s’annulant pour
,
on peut écrire :
Où g est une fonction
polynôme de degré 2. En posant ,
on cherche ces trois coefficients de telle sorte que l’on ait :
Or, pour tout x réel, on a :
On doit donc avoir :
En procédant par identification, on obtient le système :
Les trois premières lignes nous donnent facilement :
Et enfin :
On constate alors que la quatrième égalité du système initial est vérifiée.
On a donc :
2. Soit la fonction cube définie sur et a un réel.
Pour tout réel h non nul,
on a : .
D’après la question précédente,
on a, en posant :
D’où :
On a alors : .
On retrouve, via le calcul du
nombre dérivé, le fait que la dérivée de la fonction cube est la fonction .
Résultat final
1. Pour tout a et x réels, on a :
2. Pour tout réel a :
.