Ne pas hésiter à faire un rapide dessin pour se fixer un peu les idées … Les hypothèses « f dérivable » et  » nous conduisent à penser au théorème de Rolle. La question demeure de savoir à quelle fonction l’appliquer …

 

 

 

Dans un premier temps, soulignons que le résultat est immédiat si f est la fonction nulle !

 

Nous supposons donc, à partir de maintenant, que f n’est pas la fonction nulle.

 

Donnons un rapide dessin pour fixer les idées :

 

 

Considérons alors  dans l’intervalle .

Au point  une équation de la tangente s’écrit classiquement :

 

 

 

Dire qu’une telle tangente passe par le point  équivaut à écrire que les coordonnées de ce point vérifie l’équation ci-dessus :

 

 

 

Ou :

 

 

 

Soit encore,  étant différent de c :

 

 

 

Le membre de gauche n’est rien d’autre que la valeur prise en  par la dérivée de la fonction :

 

 

La fonction  est en effet définie sur  comme f et dérivable sur cet intervalle comme rapport de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. Plus formellement, on a :

 

 

 

Comme , on a facilement .

Comme, de plus,  est dérivable sur , le théorème de Rolle nous permet d’affirmer qu’il existe un réel d dans  tel que . On a donc : .

En d’autres termes, la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point  passe par le point . Le résultat est ainsi établi.