La première question nous conduit assez « naturellement » à utiliser le théorème de Rolle au regard des hypothèses fournies. La généralisation de la deuxième est facilitée si on s’efforce de reprendre la démarche de la première question.

 

 

 

1.      La fonction g est, comme la fonction f, définie sur l’intervalle . On a facilement, d’après les hypothèses sur la fonction f : . On note, par ailleurs, que la fonction g est obtenue en ajoutant à la fonction f une fonction polynôme. La fonction f étant dérivable sur , il en va donc de même pour la fonction g.

 

Appliquons alors le théorème de Rolle à la fonction g sur les intervalles  et  : on peut affirmer l’existence :

·        D’un réel  dans  tel que  ;

·        D’un réel  dans  tel que .

 

Puisque la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle , il en va de même pour la fonction g sur ce même intervalle. En particulier, sur l’intervalle , la fonction g est dérivable et vérifie .

On en déduit, toujours en utilisant le théorème de Rolle, l’existence d’un réel d dans l’intervalle  tel que : .

Or, à partir de , on a facilement .

 équivaut donc à : , soit : .

 

La condition  équivaut à : , soit : . On tire alors de ce qui précède le résultat demandé :

 

 

 

2.      A la question précédente, c’est l’application « en deux temps » du théorème de Rolle (appliqué à une fonction g judicieusement construite) qui nous a permis de conclure.

Considérons encore une fonction g définie sur  par :

 

Pour l’instant, le choix d’une valeur judicieuse de  n’est pas … immédiat.

En revanche, comme nous perdons l’hypothèse , on obtient  et  ; nous ne pouvons plus appliquer le théorème de Rolle.

Le théorème des accroissements finis appliqués à la fonction g sur les intervalles  et  nous permet cependant d’affirmer l’existence :

·        D’un réel  dans  tel que  ;

·        D’un réel  dans  tel que .

 

Plus explicitement, nous avons :

 

 

 

Et :

 

 

 

L’application du théorème de Rolle à la fonction  sur l’intervalle  sera possible en choisissant  de telle sorte que l’on ait : . Soit :

 

 

 

On a alors facilement :

 

 

 

Pour ce choix de , on a alors :

 

 

 

Ce résultat, très simple, correspond au coefficient directeur de la droite passant par les points de coordonnées  et  … Nous y reviendrons un peu plus loin !

 

Dans ces conditions, le théorème de Rolle nous permet d’affirmer l’existence d’un réel d dans l’intervalle  tel que : .

 

Comme on a toujours : , l’égalité  équivaut encore à : . Soit :

 

 

 

On en tire alors le résultat cherché :

 

 

 

 

Commentons un peu la démarche précédente.

 

Le choix de  est « illustré » sur la figure ci-dessous :

 

 

De façon à obtenir l’égalité , on s’est débrouillé (i.e. on a choisi  ) de telle sorte que le point de coordonnées  appartiennent à la droite passant par les points  et . Ainsi, les droites passant par  et , d’une part, et  et , d’autre part, ont-elles le même coefficient directeur (il vaut , nous l’avons obtenu plus haut. En fait, ces deux droites sont confondues !). C’est précisément ce que nous voulons (traduction graphique de l’égalité  ).

 

Cet alignement se traduit simplement par :

 

 

 

L’égalité de la question 2 équivaut donc à : .

 

3.      La première question correspond à un cas particulier de la seconde.

 

Si nous reprenons la figure ci-dessus en la complémentant un peu, on a :

 

 

La différence  apparaît alors comme étant, éventuellement au signe près, la distance, pour , entre le point de la courbe représentative de la fonction f (point E) et le point correspondant sur la corde  (point C). soit :

 

 

 

Lorsque , on a :  et lorsque , on retrouve le résultat de la question 1 : .