On considère la fonction f définie par :
Déterminer la dérivée de f et préciser son ensemble de définition.
Analyse
On considère la fonction f comme une composée et on utilise la formule classique du cours.
Résolution
Notons, dans un premier temps que la fonction f est définie pour tout x réel tel que :
- existe ;
- .
La fonction tangente est définie sur .
Par ailleurs, on a : si, et seulement si
,
soit
avec
.
On en déduit, finalement, que la fonction f est
définie sur .
On peut alors écrire, pour tout x de D : avec :
La fonction g est dérivable sur et pour tout x de cet ensemble :
.
La fonction h est dérivable sur et sur
et on a pour tout x réel de l’un ou
l’autre de ces deux intervalles :
.
Il vient alors, pour tout x de D :
La fonction f est dérivable sur tout intervalle inclus dans D et on a, pour tout réel x de cet ensemble :
Résultat final
La
dérivée de la fonction f définie sur par
est la fonction :
Elle est également définie sur D.