On considère la fonction f définie sur par :
Déterminer la dérivée de f et préciser son signe.
Analyse
On a tout intérêt ici à considérer la fonction f comme une composée et on utilise la formule classique du cours.
Résolution
On peut écrire, pour tout x de :
avec :
La fonction g est dérivable sur et pour tout x de cet ensemble :
.
On note qu’elle prend ses valeurs dans .
La fonction h est dérivable sur et on a pour tout x réel de cet intervalle :
.
Il vient alors, pour tout x de :
La fonction f est dérivable sur et on a, pour tout réel x de cet
ensemble :
Comme ,
on a immédiatement
.
Pour tout réel x dans ,
on a
,
et
.
On en déduit immédiatement
.
Résultat final
La
dérivée de la fonction f définie sur par
est la fonction :