Le calcul de la dérivée requiert de la rigueur (attention aux facteurs multiplicatifs …) et, probablement, d’organiser un peu les choses (il peut être intéressant, par exemple, de dériver, dans un premier temps le dénominateur de la fonction.

 

 

 

Le numérateur de la fonction f ne pose pas de problème particulier.

 

Pour tout x réel, on a :  et donc : . Puis, finalement : .

 

On en déduit que la racine carrée au dénominateur est définie et strictement positive pour tout x réel. Ainsi, la fonction f est définie sur .

 

 

 

La fonction  est dérivable sur  en tant que fonction polynôme. On a vu précédemment qu’elle prenait des valeurs strictement positives. Or, la fonction racine carrée est dérivable sur . On en déduit que la fonction g définie par :  est dérivable sur .

 

Pour tout x réel, on a : .

 

La fonction g est dérivable sur  en tant que rapport de deux fonctions dérivables sur , le dénominateur ne s’y annulant pas. Pour tout x réel, on a alors :

 

 

 

 

 

On a vu précédemment que l’on avait, pour tout x réel :  et . Comme a est un réel strictement positif, il vient finalement :

 

 

 

En définitive :

 

 

 

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous les courbes représentatives des fonctions obtenues pour diverses valeurs du paramètre a.