Calculer :
Analyse
On peut classiquement appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en prenant soin de se placer sur un intervalle adéquat ; en l’occurrence ici les bornes de l’intervalle sont des fonctions de la variable x … mais pas n’importe lesquelles !
Résolution
Considérons un réel x quelconque dans l’intervalle .
Dans ce cas, on a : et on peut considérer l’intervalle
(qui n’est donc pas réduit à un point).
La fonction logarithme népérien étant continue sur et dérivable sur
,
le théorème des accroissements finis nous permet d’affirmer qu’il existe un
réel
dans
tel que
.
On a : .
Ainsi, lorsque l’on fait tendre x vers
par valeurs inférieures, le réel
tend vers
.
On a donc :
On raisonne de façon similaire
sur l’intervalle (on raisonne cette fois sur l’intervalle
) et on obtient :
En définitive :
Résultat final