Il s’agit ici d’un exercice d’application directe du cours.

Les décompositions en facteurs premiers ne posent pas de problème particulier.

La deuxième question a pour objectif de vous entraîner à utiliser l’algorithme d’Euclide afin de pouvoir résoudre dans  des équation du type  où u et v sont deux nombres premiers entre eux.

 

 

 

Question 1.

 

On obtient aisément les décompositions suivantes en facteurs premiers :

 

 

et

.

 

Les nombres 222 et 115 admettent 1 comme seul diviseur commun ; ils sont donc premiers entre eux.

 

Utilisons maintenant l’algorithme d’Euclide :

 

 

 

Le reste finalement obtenu vaut 1. On en déduit que , c’est à dire que 222 et 115 sont premiers entre eux.

 

 

Question 2.

 

Nous allons utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer les deux nombres a et b.

 

Nous reprenons ce qui a été fait plus haut (divisions euclidiennes successives) en numérotant les lignes :

 

 

 

 

Pour éliminer l’avant-dernier reste (le « 2 » apparaissant dans l’avant-dernière ligne), nous allons multiplier l’avant dernière ligne (  ) par  puisque 2 apparaît dans la dernière ligne dans le membre de droite de l’égalité. On obtient :

 

 

 

 

Pour éliminer le reste (qui vaut 3) de la ligne (  ), nous allons multiplier cette ligne par 3. On obtient :

 

 

 

 

Pour éliminer le reste (qui vaut 8) de la ligne (  ), nous allons multiplier cette ligne par . On obtient :

 

 

 

 

 

Enfin, pour éliminer le reste (qui vaut 107) de la ligne (  ), nous allons multiplier cette ligne par . On obtient :

 

 

 

En additionnant membre à membre les égalités ainsi obtenues, il vient :

 

 

 

Soit :

 

 

Finalement :