Déterminer la plus grande puissance de 6 divisant
Analyse
Un exercice probablement … déroutant dans sa forme
(notamment au regard de l’énormité du nombre …). Pour autant, la piste de la décomposition
en facteurs premiers n’est pas loin …
Résolution
Le nombre est divisible par 2 et 3. Sa décomposition en
facteurs premiers est de la forme :
Où et
désignent respectivement les puissances de 2
et 3 de cette décomposition.
Dans ces conditions, la plus grande puissance de 6 divisant est :
.
Déterminons .
Pour ce faire, nous allons nous intéresser aux multiples de 3 inférieurs à 1000 en les classant suivant la puissance de 3 dont ils sont multiples.
La plus grande puissance de 3 inférieure à 1000 est .
La « contribution » à vaut donc :
.
Il vient ensuite : .
Ses multiples inférieurs à 1000 et différents de 729 sont :
,
et
.
Il y en a 3 et leur contribution à vaut donc :
.
Il vient ensuite : .
Ses multiples inférieurs à 1000 et différents des nombres
précédents (on multiplie par un entier non multiple de 3) sont :
,
,
,
…,
.
Il y en a et leur contribution à
vaut donc :
.
Il vient ensuite : .
Ses multiples inférieurs à 1000 et différents des nombres
précédents sont : ,
,
,
…,
.
Il y en a et leur contribution à
vaut donc :
.
Il vient ensuite : .
Ses multiples inférieurs à 1000 et différents des nombres
précédents sont : ,
,
,
…,
.
Il y en a et leur contribution à
vaut donc :
.
Il vient enfin : .
Ses multiples inférieurs à 1000 et différents des nombres
précédents sont : ,
,
,
…,
.
Il y en a et leur contribution à
vaut donc :
.
Finalement, on a : .
Puisque comporte 500 facteurs pairs (de 2 à 1000), on
peut écrire :
.
D’après le résultat précédent, on a : .
La plus grande puissance de 6 divisant est donc
.
Résultat final
La
plus grande puissance de 6 divisant est donc
.