On doit pouvoir, pour chacun des 2000 nombres cherchés, effectuer une factorisation … Les factorielles sont, dans ce cas-là, bien utiles !

 

 

 

Si notre premier nombre est de la forme , il suffit, pour qu’il ne soit pas premier, que n soit un nombre pair (la condition est seulement suffisante, soulignons-le).

 

Le nombre suivant est alors  et, cette fois, il suffit que n soit un multiple de 3 pour que ce nombre ne soit pas premier.

 

Et ainsi de suite jusqu’au 2000^ème nombre cherché, qui s’écrira , où il suffira que n soit un multiple de 2001 pour que ce nombre ne soit pas premier.

 

En résumé, il nous suffit de trouver un nombre entier n multiple de 2, 3, 4, …., 2000 et 2001 pour disposer de 2000 nombres entiers consécutifs non premiers. Il suffit simplement de considérer pour n le nombre  …

 

Finalement, les nombres : , , , …,  et  sont 2000 entiers consécutifs non premiers.