Soit a et n deux entiers naturels non
nuls et différents de 1. On suppose que est premier.
1. Montrer que a est égal à 2 ;
2. Montrer que n est premier ;
3. A-t-on la réciproque ?
Analyse
Un exercice classique autour des nombres de Mersenne …
Résolution
Question 1.
On a classiquement :
étant premier, cette factorisation entraîne
,
soit
.
Question 2.
Menons ici un raisonnement par l’absurde en supposant que n n’est pas premier.
On peut donc, dans ces conditions, écrire : avec
et
.
Il vient alors :
C’est à dire : non premier (
et
entraîne
). Ce qui est absurde.
Question 3.
Le nombre de Mersenne M11 n’est pas premier :
.
Il existe donc des nombres de la forme avec n premier qui ne sont pas premiers.
Résultat final
Si
on considère un nombre premier de la forme alors nécessairement a est égal à 2 et n
est premier.
La
réciproque est fausse : il existe des nombres de la forme avec n premier qui ne sont pas premiers.