Soit a et b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux et tels que ab soit un carré parfait.
Montrer que a et b sont deux carrés parfaits.
Analyse
Un exercice court. On part de la décomposition en facteurs premiers du produit ab.
Résolution
Le produit ab étant un carré parfait, sa décomposition en facteurs premiers est de la forme :
les étant des entiers naturels non nuls et
différents de 1, premiers et deux à deux distincts, les
étant des entiers naturels non nuls.
Considérons le facteur premier et supposons qu’il divise a. Comme a
et b sont premiers entre eux,
ne divise pas b et on en déduit
immédiatement que
divise a.
En raisonnant de la sorte pour chaque facteur ,
on conclut que pour tout i de
,
on a :
divise a ou
divise b.
Ainsi, quitte à réindexer les facteurs premiers ci-dessus, il existe un indice j tel que :
et
Les entiers a et b sont deux carrés parfaits.
Résultat final
Si le produit de deux entiers naturels non nuls premiers entre eux est un carré parfait alors ces deux entiers sont eux-mêmes des carrés parfaits.